Ein Blick in die Geschichte
David Hilbert formuliert wichtige Ziele der Mathematik
Im Jahr 1900 formuliert David Hilbert - einer der anerkanntesten Mathematiker seiner Zeit - die aus seiner Sicht wichtigsten zu lösenden Probleme des 20. Jahrhunderts.
Wer von uns würde nicht gern den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unsrer Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwickelung während der künftigen Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? welche neuen Methoden und neuen Thatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken - auf dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens? [...]
Ein besonderes Anliegen war ihm, der Mathematik ein solides Fundament zu verleihen.
Wenn es sich darum handelt, die Grundlagen einer Wissenschaft zu untersuchen, so hat man ein System von Axiomen aufzustellen, welche eine genaue und vollständige Beschreibung derjenigen Beziehungen enthalten, die zwischen den elementaren Begriffen jener Wissenschaft stattfinden. Die aufgestellten Axiome sind zugleich die Definitionen jener elementaren Begriffe und jede Aussage innerhalb des Bereiches der Wissenschaft, deren Grundlagen wir prüfen, gilt uns nur dann als richtig, falls sie sich mittelst einer endlichen Anzahl logischer Schlüsse aus den aufgestellten Axiomen ableiten läßt. Bei näherer Betrachtung entsteht die Frage, ob etwa gewisse Aussagen einzelner Axiome sich untereinander bedingen und ob nicht somit die Axiome noch gemeinsame Bestandteile enthalten, die man beseitigen muß, wenn man zu einem System von Axiomen gelangen will, die völlig von einander unabhängig sind. Vor Allem aber möchte ich unter den zahlreichen Fragen, welche hinsichtlich der Axiome gestellt werden können, dies als das wichtigste Problem bezeichnen, zu beweisen, daß dieselben untereinander widerspruchslos sind, d.h. daß man auf Grund derselben mittelst einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals zu Resultaten gelangen kann, die miteinander in Widerspruch stehen. [...]
Einige der von Hilbert formulierten Probleme bilden das sogenannte "Hilbert´sche Programm" zur Formalisierung der Mathematik.
Das Hilbert´sche Programm:
Ziel ist es, die Mathematik so zu formalisieren, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Widerspruchsfreiheit: Die Formalisierung soll widerspruchsfrei sein (d. h.: keine zwei sich ausschließenden Aussagen können logisch hergeleitet werden).
Vollständigkeit: Jede wahre mathematische Aussage kann aus den Grundannahmen hergeleitet werden.
Entscheidbarkeit: Es gibt ein Verfahren, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist.
In den folgenden Jahren haben viele Mathematiker an diesem Programm gearbeitet und (für Hilbert) überraschende Ergebnisse erzielt.
Kurt Gödel zeigt Grenzen der beweisenden Methode auf
Im Jahr 1931 veröffentlicht Kurt Gödel seine berühmt gewordenen Unvollständigkeitssätze.
Gödelsche Unvollständigkeitssätze:
(Widerspruchsfreiheit) (a) Wenn ein formales System widerspruchsfrei ist, dann kann man innerhalb des Systems nicht herleiten, dass es widerspruchsfrei ist.
(Vollständigkeit) (b) In jedem formalen System, das widerspruchsfrei ist, existieren Aussagen, die wahr sind, aber innerhalb des Systems nicht hergeleitet werden können. Das bedeutet, es bleiben immer wahre Aussagen übrig, die nicht logisch herleitbar sind.
Mit einem Schlag wurden so zwei der drei von Hilbert aufgestellten Bedingungen als unerfüllbar nachgewiesen.
Gödel gelang es mit seinen Resultaten, auf eine grundlegende Schwäche der beweisenden Methode hinzuweisen. Mathematiker sind nicht in der Lage, fundamentale Eigenschaften der Mathematik nachzuweisen.
Alan Turing und Alonzo Church zeigen Grenzen der algorithmischen Methode auf
Im Jahr 1936 veröffentlichten Turing und Church ihre Ergebnisse zur Entscheidbarkeit.
Zur Klärung der Frage, ob es ein Verfahren gibt, mit dem man für jede beliebige Aussage in endlich vielen Schritten entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist, sahen sich Turing und Church veranlasst, erst einmal zu präzisieren, was ein "Verfahren" ist. Turing entwickelte die nach ihm benannte Turingmaschine, Church ein alternatives Berechnungsmodell.
Satz von Turing und Church
Es gibt kein algorithmisches Verfahren, mit dem man für jede beliebige mathematische Aussage in endlich vielen Schritten entscheiden kann, ob sie (aus den Grundannahmen) logisch herleitbar ist oder nicht.
Turing und Church waren somit die ersten, die Grenzen der algorithmischen Methode aufgezeigt haben. Es gibt Probleme, die sich durchaus für eine algorithmische Bearbeitung eignen, die aber dennoch algorithmisch nicht lösbar sind.
Wissenschaften und die Grenzen ihrer Erkenntnismethoden
Interessant sind die Entwicklungen zu Beginn des 20. Jahrhundert aus wissenschaftstheoretischer Sicht.
Die Mathematik gewinnt ihre Erkenntnisse mit der beweisenden Methode. Gödel konnte zeigen, dass diese Methode ihre Grenzen hat, wenn man sie auf die Mathematik als Ganzes anwendet.
Die Informatik versucht, komplexe Systeme zu entwickeln, die automatisiert bestimmte Probleme lösen. Turing und Church haben gezeigt, dass auch diese algorithmische Methode ihre Grenzen hat. Es gibt Probleme, die sich nicht mit einem Algorithmus automatisiert lösen lassen.
Auch in der Physik gab es zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine interessante Erkenntnis. In der Physik gelangt man über Experimente zu Einsichten über die Zusammenhänge der uns umgebende Welt. Heisenberg zeigte eine fundamentale Schwäche der messenden Methode auf: Man kann bestimmte Größen nicht gleichzeitig beliebig genau messen.