inf-schule | Wahrheitswerte und Bedingungen » Exkurs

Exkurs - Aussagenlogik

Aussagen und ihre Verknüpfung

Eine Aussage ist ein Satz (sprachliches Gebilde), bei dem man eindeutig festlegen kann, ob er wahr oder falsch ist. Aussagen lassen sich also Wahrheitswerte zuordnen.

Beispiele:

"Das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr." (wahr)
"Die Jahreszahl 2012 ist durch 4 teilbar." (wahr)
"Die Jahreszahl 2012 ist durch 100 teilbar." (falsch)

Ob ein Jahr ein Schaltjahr ist, lässt sich mit der folgenden Bedingung entscheiden:

Wenn die Jahreszahl durch 400 teilbar ist oder wenn sie durch 4 teilbar und nicht durch 100 teilbar ist, dann liegt ein Schaltjahr vor.

Zur Verdeutlichung der Struktur der hier benutzten Bedingung führen wir folgende Bezeichner ein:

A: "die Jahreszahl ist durch 4 teilbar"
B: "die Jahreszahl ist durch 100 teilbar"
C: "die Jahreszahl ist durch 400 teilbar"

A, B und C stehen hier für Aussagen (mit dem Platzhalter "Jahreszahl"), die - je nach Jahreszahl - wahr oder falsch sein können. Mit dieser Vereinbarung lässt sich die Bedingung für ein Schaltjahr wie folgt darstellen.

C oder (A und nicht B)

Im vorliegenden Beispiel kann die Bedingungen also als Aussage gedeutet werden, die aus mehreren Teilaussagen mit Hilfe logischer Verknüpfungen zusammengesetzt ist.

Im Folgenden betrachten wir diese logischen Verknüpfungen genauer.

Die nicht-Verknüpfung

Die logische nicht-Verknüpfung kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um. Sie verneint also eine Aussage, man spricht daher auch von einer Negation.

A	nicht A
falsch	wahr
wahr	falsch

Betrachte die Jahreszahl 2016. Wenn die Aussage A:die Jahreszahl ist durch 4 teilbar (wahr) negiert wird, ergibt sich die Aussage (nicht A):die Jahreszahl ist nicht durch 4 teilbar (falsch).

Die und-Verknüpfung

Die logische und-Verknüpfung wird auch Konjunktion genannt. Sie ist folgendermaßen festgelegt:

A	B	A und B
falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
wahr	wahr	wahr

Eine mit und zusammengesetzte Aussage ist also nur dann wahr, wenn beide Teilaussagen - die erste und die zweite - wahr sind.

Betrachte die Jahreszahl 2016. Die aus den Aussagen A:die Jahreszahl ist durch 4 teilbar (wahr) und B:die Jahreszahl ist durch 100 teilbar (falsch) zusammengesetzte Aussage (A und B):die Jahreszahl ist durch 4 teilbar und die Jahreszahl ist durch 100 teilbar ist falsch, da mindestens eine der Teilaussagen falsch ist.

Die oder-Verknüpfung

Die logische oder-Verknüpfung wird auch Disjunktion genannt. Sie ist folgendermaßen festgelegt:

A	B	A oder B
falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
wahr	wahr	wahr

Eine mit oder zusammengesetzte Aussage ist also dann wahr, wenn minderstens eine Teilaussage - die erste oder die zweite oder auch beide - wahr ist.

Betrachte die Jahreszahl 2016. Die aus den Aussagen A:die Jahreszahl ist durch 4 teilbar (wahr) und B:die Jahreszahl ist durch 100 teilbar (falsch) zusammengesetzte Aussage (A und B):die Jahreszahl ist durch 4 teilbar oder die Jahreszahl ist durch 100 teilbar ist wahr, da mindestens eine der Teilaussagen wahr ist.

Beachte, dass die logische oder-Verknüpfung nicht dem Entweder-Oder aus dem Alltag entspricht.

Logische Terme

Logische Terme werden aus Variablen für Wahrheitswerte und logischen Verknüpfungen (und manchmal auch den logischen Werten wahr und falsch) aufgebaut.

So ist beispielsweise C oder (A und nicht B) ein logischer Term mit den Variablen A, B und C. Setzt man für die Variablen A, B und C Wahrheitswerte ein, so lässt sich der Wert des Terms mit Hilfe der Wahrheitstafeln für die logischen Verknüpfungen bestimmen. Die folgende Tabelle zeigt dies für alle Kombinationen möglicher Werte für A, B und C.

A	B	C	nicht B	A und nicht B	C oder (A und nicht B)
falsch	falsch	falsch	wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	wahr	wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	falsch	falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr	falsch	falsch	wahr
wahr	falsch	falsch	wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr	wahr	wahr	wahr
wahr	wahr	falsch	falsch	falsch	falsch
wahr	wahr	wahr	falsch	falsch	wahr

Die Wahrheitstafeln für die logischen Verknüpfungen ermöglichen es also, mit Wahrheitswerten zu rechnen. Man muss sich nur an die Vereinbarungen in den Wahrheitstafeln halten.

Als Anwendung betrachten wir noch einmal die folgenden Aussagen.

A: "die Jahreszahl ist durch 4 teilbar"
B: "die Jahreszahl ist durch 100 teilbar"
C: "die Jahreszahl ist durch 400 teilbar"

Beachte, dass A, B und C eigentlich erst dann zu Aussagen werden, wenn eine konkrete Jahreszahl festgelegt wird. Erst dann lässt sich entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

Geprüft werden soll, ob der logische Term C oder(A und nicht B) für alle konkreten Jahreszahlen richtig erfasst, ob es sich um ein Schaltjahr handelt. Wir werten den Term für die denkbaren Fälle aus und benutzen hierbei die bereits oben erzielten Ergebnisse.

Jahreszahl	A	B	C	C oder (A und nicht B)
2009	falsch	falsch	falsch	falsch
2012	wahr	falsch	falsch	wahr
2100	wahr	wahr	falsch	falsch
2400	wahr	wahr	wahr	wahr

Die Ergebnisse belegen, dass sich der logische Term als Bedingung zur Beschreibung von Schaltjahren eignet.

Äquivalenz logischer Terme

Logische Terme sind äquivalent, wenn sie für alle möglichen Belegungen der hierin vorkommenden Variablen jeweils denselben Wahrheitswert haben.

So sind beispielsweise die logischen Terme nicht(A und B) und (nicht A) oder (nicht B) äquivalent. Man zeigt dies, indem man Wahrheitstafeln für die Terme anlegt, die sämtliche Belegungen der Variablen A und B enthalten und die entsprechenden Werte der logischen Terme aufzeigen.

Wahrheitstafel für nicht(A und B):